Całki Funkcje Lagrange'a funkcje lagrange\'a

Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Twierdzenie 1: Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Do obliczenia całki \( \int \frac{ W_n(x) }{ \sqrt{ ax^2+bx+c } } dx \) stosujemy wzór

(1)

\( \int \frac{ W_n(x) }{ \sqrt{ ax^2+bx+c } } dx = Q_{ n-1 }(x) \sqrt{ ax^2+bx+c } + \alpha \int \frac{ 1 }{ \sqrt{ ax^2+bx+c } } dx, a \neq 0 \)

gdzie, \( W_n(x) \) jest danym wielomianem stopnia \( n \), a \( Q_{ n-1 }(x) \) jest szukanym wielomianem stopnia \( n-1 \) o nieznanych współczynnikach, zaś \( \alpha \) jest również szukaną liczbą rzeczywistą.

Aby obliczyć wszystkie niewiadome (współczynniki), stosujemy metodę Lagrange'a według następującego algorytmu:

Zapisujemy wynik całki z niewiadomymi \( Q_{ n-1 }(x) \) oraz \( \alpha, \) traktując następnie zapis jako równanie.
Obliczamy stronami pochodną pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej.
Obie strony równania należy pomnożyć przez \( \sqrt{ ax^2+bx+c }. \)
Poprzez porównanie odpowiednich współczynników wielomianów występujących po obu stronach równania dostajemy układ równań na wszystkie szukane niewiadome współczynniki.
Na koniec obliczamy jeszcze całkę \( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ ax^2+bx+c } } . \)

Przykład 1:

Stosując metodę współczynników nieoznaczonych Lagrange'a, obliczmy całkę

\( \int \frac{ x^2+4x+1 }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \, dx \)

Zgodnie z twierdzeniem Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a możemy zapisać

\( \int \frac{ x^2+4x+1 }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \, dx = (Ax+B)\sqrt{ x^2+2x+6 }+\alpha \int \frac{ dx }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \)

Następnie licząc pochodną po obu stronach równania, pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, mamy

\( \frac{ x^2+4x+1 }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } }=(Ax+B)'\cdot \sqrt{ x^2+2x+6 } \,+(Ax+B)\cdot \left(\sqrt{ x^2+2x+6 }\right)'+ \frac{ \alpha }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \)

\( \frac{ x^2+4x+1 }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } }=A\sqrt{ x^2+2x+6 } +(Ax+B)\frac{ 2x+2 }{ 2\sqrt{ x^2+2x+6 } }+ \frac{ \alpha }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \)

Mnożąc obie strony równania przez \( \sqrt{ x^2+2x+6 } \) i grupując wyrazy, dostajemy

\( x^2+4x+1=A(x^2+2x+6)+(Ax+B)(x+1)+\alpha \)

\( x^2+4x+1=2Ax^2+(3A+B)x+6A+B+\alpha \)

skąd, po porównaniu odpowiednich współczynników, otrzymujemy układ równań

\( \begin{cases} 2A=1 \\\\3A+B=4 \\\\ 6A+B+\alpha=1 .\end{cases} \)

Zatem \( A=\frac{ 1 }{ 2 }, B=\frac{ 5 }{ 2 }, \alpha=-\frac{ 9 }{ 2 } \). Wracając do całki

\( I=\int \frac{ x^2+4x+1 }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \, dx = \left(\frac{ 1 }{ 2 }x+\frac{ 5 }{ 2 }\right)\sqrt{ x^2+2x+6 }-\frac{ 9 }{ 2 } \int \frac{ dx }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } } \)

i korzystając z podstawień Eulera wyliczamy

\( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ x^2+2x+6 } }=\ln\left|x+1+\sqrt{ x^2+2x+6 }\right|+C. \)

Stąd

\( I=\frac{ x+5 }{ 2 } \cdot \sqrt{ x^2+2x+6 }-\frac{ 9 }{ 2 }\ln\left|x+1+\sqrt{ x^2+2x+6 }\right|+C \)

Przykład 2:

Stosując metodę współczynników nieoznaczonych Lagrange'a obliczmy całkę

\( \int x \sqrt{ -x^2+4x+2 } \, dx \)

Chcąc skorzystać z metody współczynników nieoznaczonych, musimy najpierw przekształcić naszą całkę do odpowiedniej postaci, w której można zastosować metodę Lagrange'a.

\( I=\int x \sqrt{ -x^2+4x+2 } \, dx = \int \frac{ x(-x^2+4x+2) } { \sqrt{ -x^2+4x+2 } } \, dx= \int \frac{ -x^3+4x^2+2x } { \sqrt{ -x^2+4x+2 } } \, dx \)

Zatem

\( \int \frac{ -x^3+4x^2+2x } { \sqrt{ -x^2+4x+2 } } \, dx = (Ax^2+Bx+C) \cdot \sqrt{ -x^2+4x+2 }+\alpha \int \frac{ dx }{ \sqrt{ -x^2+4x+2 } } \)

Różniczkując równanie stronami i pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, otrzymujemy

\( \begin{multline*}\frac{ -x^3+4x^2+2x } { \sqrt{ -x^2+4x+2 } } = (Ax^2+Bx+C)' \cdot \sqrt{ -x^2+4x+2 }+\\ +(Ax^2+Bx+C) \cdot \left(\sqrt{ -x^2+4x+2 }\right)'+ \frac{ \alpha }{ \sqrt{ -x^2+4x+2 } }\end{multline*} \)

i stąd

\( \begin{multline*}\frac{ -x^3+4x^2+2x } { \sqrt{ -x^2+4x+2 } } = (2Ax+B) \cdot \sqrt{ -x^2+4x+2 }+\\ +(Ax^2+Bx+C) \cdot \frac{ -2x+4 }{ 2\sqrt{ -x^2+4x+2 } }+ \frac{ \alpha }{ \sqrt{ -x^2+4x+2 } }.\end{multline*} \)

Następnie mnożąc równanie obustronnie przez \( \sqrt{ -x^2+4x+2 } \) i grupując wyrazy podobne, otrzymujemy

\( -x^3+4x^2+2x = (2Ax+B) \cdot (-x^2+4x+2) +(Ax^2+Bx+C) \cdot (-x+2)+ \alpha \)

\( -x^3+4x^2+2x = -3Ax^3+ (10A-2B)x^2+(4A+6B-C)x+2B+2C+ \alpha \)

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach \( x \), dostajemy układ równań

\( \begin{cases} -3A=-1 \\\\10A-2B=4 \\\\ 4A+6B-C=2 \\\\ 2B+2C+\alpha=0. \end{cases} \)

Stąd

\( A=\frac{ 1 }{ 3 }, B=-\frac{ 1 }{ 3 }, C=-\frac{ 8 }{ 3 }, \alpha=6. \)

Wracając do całki mamy

\( I=\int x \sqrt{ -x^2+4x+2 } \, dx=\left(\frac{ 1 }{ 3 }x^2-\frac{ 1 }{ 3 }x-\frac{ 8 }{ 3 }\right) \cdot \sqrt{ -x^2+4x+2 }+6 \int \frac{ dx }{ \sqrt{ -x^2+4x+2 } }. \)

Całkę, która nam pozostała, obliczamy korzystając na przykład z podstawień Eulera lub przekształcając ją do
całki \( \int \frac{ dt }{ \sqrt{ a^2-t^2 } } \), wówczas

\( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ -x^2+4x+2 } }=\int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6-(x-2)^2 } }=\arcsin \frac{ x-2 }{ \sqrt{ 6 } }+C. \)

Zatem

\( I=\frac{ x^2-x-8 }{ 3 } \cdot \sqrt{ -x^2+4x+2 }+6 \arcsin \frac{ x-2 }{ \sqrt{ 6 } }+C. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Twierdzenie 1: Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Przykład 1:

Przykład 2: